Summenbildung
Wir haben bis jetzt schon eine grundlegende Idee der
Flächenbestimmung unter den Graphen von Funktionen kennengelernt. Jedoch
ergibt dieses Verfahren bis jetzt nur einen Näherungswert für den
orientierten Flächeninhalt.
Im Folgenden wird das Verfahren verbessert, der Flächeninhalt exakt
bestimmt sowie das theoretische und praktische Fundament eines der in
der gesamten Mathematik wichtigsten Verfahren verfestigt werden!
Dazu wird immer wieder auf den Funktionsumfang der freien Software Geogebra zurückgegriffen werden.
 Aufgabe 3
Mit Hilfe des folgenden interaktiven Java-Applets basierend auf
Geogebra sollst Du einige wichtige Zusammenhänge nachvollziehen.
Gezeigt ist der Graph der Funktion  mit den Rechteckflächen der Ober- und Untersumme in einem Intervall [a;b].
- Verschiebe abwechselnd die Intervallgrenzen a und b (blaue
Punkte auf der x-Achse) mit der Maus nach rechts und links. Beschreibe
wie die Rechteckflächen der Ober- und Untersumme auf die Verschiebung
der Intervallgrenzen reagieren. Was geschieht mit den Werten O, U und
der Differenz?
- Variiere jetzt die Anzahl n
der Rechtecke durch Betätigung des Schiebereglers. Was passiert nun mit
den Werten O, U und der Differenz? Wie und warum wird durch die
Variation von n die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser oder schlechter beschrieben?
- Gelten die Ergebnisse von 1. und 2. auch für andere
(beliebige) Intervalle [a, b]? Überprüfe dies durch Verändern der
Intervallgrenzen sowie der Anzahl n der Rechtecke.
- Wie groß müsste n sein, damit kein Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von f mehr zu erwarten wäre?
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 Lösung
- Die Anzahl der Rechteckflächen bleibt gleich, ihre Breite
ändert sich jedoch: Die Breite eines Rechtecks entspricht der
Intervalllänge geteilt durch die Anzahl n
der (gleich breiten) Intervallunterteilungen. Je schmaler das Intervall
wird, desto besser stimmen O und U überein und desto kleiner wird dann
natürlich auch die Differenz.
- Je größer die Anzahl n der
Rechtecke wird, desto mehr nähern sich O und U einander an und desto
kleiner wird somit deren Differenz. Durch die Vergrößerung von n
wird die Fläche unter der Kurve durch die Rechteckflächen besser
beschreiben, durch seine Verringerung schlechter. Das kommt daher, dass
durch immer schmaler werdende Rechtecke der Fehler durch die
"übrigbleibenden" Flächen an den oberen Rechteckrändern immer kleiner
wird.
- Die Ergebnisse von 1. und 2. gelten für beliebige Intervalle!
- Um keinen Unterschied zwischen O, U und der Fläche unter dem Graphen von f mehr zu erhalten (also die Differenz zu 0 zu machen) müsste n unendlich groß werden. Dies entspräche dann dem Grenzübergang
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Aufgabe 3
