Das bestimmte Integral

Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche $A$ unter dem Graphen einer Funktion $f (x)$ im Intervall $[a; b]$ immer durch die Obersumme $O n$ und die Untersumme $U n$ (jeweils bestehend aus $n$ Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann:

$U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n$

Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen.
Die Trapezsumme ist der Mittelwert aus beiden Einschachtelungen.
Im Extremfall für $n \to \infty$ wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung:

$\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A$

Nun ist es Zeit für eine wichtige Definition:

Definition

Die Fläche $A$ unter dem Graphen der Funktion $f (x)$ im Intervall $[a; b]$ nennt man das bestimmte Integral von $f (x)$ in den Grenzen $a$ und $b$ , in Zeichen:

$\int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n$

Diese Definition ist zunächst vorläufig und wird im Folgenden noch um einen wichtigen Punkt erweitert werden.

Merke:

Das Integralzeichen "∫"stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d $x$ " ist ein sog. Differential und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe.
Die Zahlen $a$ und $b$ sind die Grenzen des Integrals. $a$ ist die untere Grenze, $b$ die obere Grenze.
Die Funktion $f (x)$ , also alles, was unter dem Integral steht (alles außer d $x$ ), wird Integrand genannt.
Zwischen dem Integranden $f (x)$ und dem Differential d $x$ steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte $f (x)$ und deren Breite durch das Differential d $x$ gegeben sind.
$f(x) \cdot \mathrm{d}x$ ist dann der Flächeninhalt (Höhe $\cdot$ Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!

Aufgabe 4 mit Casio GTR

Berechne wieder mittels des Casio GTR das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen mittels $\int (f(x)$ ,a,b) im RUN-Modus $(RUN/OPT/CALC/ \int dx )$ eingibst.
Alternativ kannst du zur besseren Veranschaulichung das Integral auch im Graph-Modus mittels G-Solv $(GRAPH/G-Solv/F6/ \int dx )$ berechnen lassen. Hierzu wird es oftmals nötig sein, das View-Window passend einzustellen. Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern.

$f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^2 + 2$ im Intervall $[ -1;2]$
$f(x)= \sqrt{x}$ im Intervall $[0;8]$
$f(x)= x^3 - \frac{1}{5} \cdot x^2 - 2 \cdot x + 2$ im Intervall $[ -1;2]$

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Lösung

Aufgabe 4 mit Geogebra

Berechne wieder mit Geogebra das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion $f (x)$ , die Intervallgrenzen $a$ und $b$ und dann den Befehl "A $=$ Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt.
Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern.

$f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^2 + 2$ im Intervall $[ -1;2]$
$f(x)= \sqrt{x}$ im Intervall $[0;8]$
$f(x)= x^3 - \frac{1}{5} \cdot x^2 - 2 \cdot x + 2$ im Intervall $[ -1;2]$

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Lösung

A $=$ 7
A $=$ 15.08
A $=$ 6.15

Aufgabe 5

Im Applet unten sollst Du folgende Aufgaben bearbeiten:

Verschiebe den Graphen der Funktion mit der Maus so, dass das bestimmte Integral (also die Fläche $A$ ) negativ wird. Wann passiert das? Was bedeutet das?
Verschiebe nun den Graphen und die Intervallgrenzen so, dass der Wert des Integrals 0 wird. Welche Bedingung ist dann erfüllt? Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten? Was bedeutet dieser zu 0 gewordene Flächeninhalt?
Offensichtlich gibt es einen Unterschied zwischen dem bestimmten Integral und dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Worin liegt dieser Unterschied? Wann sind beide gleich?

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Lösung

Das bestimmte Integral wird negativ, wenn die markierte Fläche unter der x-Achse größer wird als diejenige über der x-Achse. Dies bedeutet, dass Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen zugeschrieben wird. Man spricht dann von orientierten Flächeninhalten. Solche über der x-Achse sind positiv orientiert, diejenigen unter der x-Achse negativ orientiert.
Die Fläche über der x-Achse ist genauso groß wie diejenige unter der x-Achse. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dafür. Der zu 0 gewordene Flächeninhalt bedeutet, dass sich die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse gegenseitig "ausgleichen" oder "aufheben" können.
Das bestimmte Integral ist die Summe der orientierten Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse in den jeweiligen Grenzen, d.h. die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse werden mit einem positiven Vorzeichen versehen und zu denjenigen unterhalb der x-Achse (mit einem negativen Vorzeichen versehen) addiert. Bestimmtes Integral sowie Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse sind dann gleich, wenn nur positiv orientierte Flächeninhalte existieren.

Information für den LK: Berechnung des bestimmten Integrals mittels Grenzwertüberlegungen

An dieser Stelle sollst Du einmal das bestimmte Integral anhand eines einfachen Beispiels selbst mittels Grenzwertüberlegungen von Hand berechnen. Dies ist nicht einfach und kann in jedem Fall auch in Zusammenarbeit innerhalb einer Gruppe geschehen!
Die Berechnung soll Dir aber einen vertiefenden Einblick in die Berechnung des bestimmten Integrals geben und Dir verdeutlichen, dass einfache Regeln zur Integration (Berechnung eines Integrals) eine wirkliche Vereinfachung darstellen.
Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während das zweite Arbeitsblatt dem reinen Durcharbeiten dient.

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